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IST - 1o Semestre de 2011/12

LEGM, MEC

EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR

Transformações Lineares - Exercícios

FICHA 3 - Transformações Lineares _ 41 Exercícios sobre Transformações Lineares

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1 Linearidade 

Transformações lineares são funções 

T : E1 → E2 

entre dois espaços vectoriais E1 e E2 (sobre R ou C) com as seguintes características: 

i) T(u + v) = T(u) + T(v), ∀u, v ∈ E1. 

ii) T(αu) = αT(u), ∀u ∈ E1, ∀α ∈ K. 

A partir destes axiomas pode facilmente mostrar-se que as transformações lineares go zam das seguintes propriedades: 

• T(αu + βv) = αT(u) + βT(v), ∀u, v ∈ E1, ∀α, β ∈ K. 

• T(−u) = −T(u). 

• T (0) = 0. 

Um exemplo de transformação linear pode ser obtido através da operação de derivação de funções, dadas as suas propriedades no que concerne à soma e ao produto de funções. Se considerarmos o espaço P de todos os polinómios, a função D : P → P tal que 

Dp (t) = p′(t), 

ou mais concretamente 

D antn + ... + a2t2 + a1t + a0 = nantn−1 + (n − 1) an−1tn−2 + ... + 2a2t + a1, constitui uma transformação linear entre P e ele próprio. 

1Coligidos por: João Ferreira Alves, Ricardo Coutinho e José M. Ferreira. 

1

1.1 Algumas transformações lineares de R2 em R2 

Outro exemplo de transformação linear 

T : Rn → Rm 

é-nos dado pelo produto de uma matriz A, m × n, por um vector coluna x ∈ Rn: T (x) = Ax. 

Entre elas constam as seguintes transformações lineares de R2em R2(ver exercícios 8 e 11 da secção seguinte). 

1. MUDANÇA DE ESCALA: 

Sr (x, y) = (rx, ry) = 

(ampliação se r > 1, redução se r < 1). 

 r 0 0 r 

    x y 

  

. 

2. ROTAÇÃO EM TORNO DA ORIGEM DE AMPLITUDE θ:  cos θ − sin θ 

    x 

  

Rθ (x, y) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ) = 3. REFLEXÃO RELATIVAMENTE ÀS RECTAS y = ±x: 

sin θ cos θ 

y 

. 

R (x, y) = (±y, ±x) = 

 0 ±1 ±1 0 

    x y 

  

. 

4. REFLEXÃO RELATIVA AO EIXO DOS xx:  1 0 

    x 

  

Rx (x, y) = (x, −y) = 

5. REFLEXÃO RELATIVA AO EIXO DOS yy: 

0 −1 

y 

    x 

. 

Ry (x, y) = (−x, y) = 

 −1 0 0 1 

y 

  

. 

6. REFLEXÃO RELATIVA À ORIGEM: R0 (x, y) = (−x, −y) = 

 −1 0 0 −1 

    x y 

  

.7 PROJECÇÃO SOBRE O EIXO DOS xx: Px (x, y) = (x, 0) = 

8. PROJECÇÃO SOBRE O EIXO DOS yy: Py (x, y) = (0, y) = 

2

 1 0 0 0 

 0 0 0 1 

    x y 

    x y 

  

. . 

1.2 Exercícios 

Exercício 1 T : R4 → R2é uma transformação linear tal que 

T (u1) = (1, −1), T (u2) = (1, 2), T (u3) = (−3, −1). 

a) Calcule 

i) T (u1 − 2u2). ii) T (3u1 − u2). iii) T (u1 − u2 + 4u3). 

b) Determine α e β tais que T (α u1 + β u3) = (0, −8). 

Exercício 2 Quais das seguintes transformações são lineares? 

a) T(x1, x2) = (x1, x2). 

b) T(x1, x2) = (x1 + 1, x2). 

c) T(x1, x2) = (2x21 + x1x2, x1). 

d) T(x1, x2, x3) = (2x1 + x2, x1 + 2x2, x1 + 2x2 + x3). 

e) T(x1, x2, x3) = (x1 + 3, x1 + 2x2 + x3, x2 − 4x3). 

f) T(x1, x2, x3, x4) = (2x1 + x2 − x3 + x4, x1 + x2 − 3x3). 

Exercício 3 Com k, m ∈ R, sejam Tk e Tm as transformações de R3em R2 dadas, respec tivamente, por: 

Tk (x, y, z) = (x − y − z, x + y + z) + (k, k), 

Tm (x, y, z) =  xm − ym − zm, ym−1z . 

Para que valores de k e m são Tk e Tm transformações lineares? 

Exercício 4 A transformação T : P → P, entre o espaço de todos os polinómios P e ele próprio, é dada por 

T (p (t)) = tp (t). 

a) Calcule T (5 + 4t + 3t2 + 2t3). 

b) Mostre que T é uma transformação linear. 

Exercício 5 Seja P1 (R) = {a0 + a1t : a0, a1 ∈ R} o espaço dos polinómios de grau não superior a 1. A transformação T : P1 (R) → P1 (R), entre P1 (R) e ele próprio, é dada por 

T (a0 + a1t) = b0 + b1t 

em que b0 b1 

a) Calcule T (1 + 2t). 

  

= 

 1 −1 −1 1 

    a0 a1 

  

. ) Determine a0 e a1 tais que T (a0 + a1t) = 1 − t. E tais que T (a0 + a1t) = 1 − 2t? c) Mostre que T é uma transformação linear. 

3

Exercício 6 Sejam v1, ..., vp, vectores de Rne T : Rn → Rm uma transformação linear. Mostre que se T (v1), ..., T (vp) são linearmente independentes então o mesmo sucede a v1, ..., vp. 

Exercício 7 Seja T : R2 → R a transformação linear definida por T (x, y) = x − y. Dado E ⊂ R, por T−1(E) entende-se o subconjunto de R2, 

T−1(E) =  (x, y) ∈ R2: T (x, y) ∈ E . 

Determine e represente geometricamente: 

a) T−1({3}). b) T−1({0}). c) T−1([−1, 1]). 

Exercício 8 Seja ∆ ⊂ R2 o triângulo de vértices (1, 1), (1, −1) e (2, 0) e Cρ ⊂ R2 a circunferência de centro na origem e raio ρ > 0. Relativamente às transformações lineares T : R2 → R2 descritas a seguir, determine: 

i) T (∆). ii) T (Cρ). 

a) Reflexão relativamente ao eixo dos xx. 

b) Reflexão relativamente ao eixo dos yy. 

c) Reflexão relativa à recta y = x. 

d) Reflexão relativa à recta y = −x. 

e) Mudança de escala de razão r > 0. 

Exercício 9 A transformação linear T : R2 → R2 dada por 

2,y3 . 

T (x, y) = 

 x 

Determine T (E), onde E designa a elipse de equação 

x2 

4+y29= 1. 

Exercício 10 Com θ ∈ R, a transformação linear Rθ : R2 → R2 dada por Rθ(x, y) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ), 

diz-se uma rotação de amplitude θ. 

a) Calcule os vectores Rπ/2 (1, 0), Rπ/2 (0, 1), Rπ/2 (1, 1), Rπ/3 (1, 1). Interprete os resulta dos geometricamente. 

b) Quais das seguintes matrizes representam rotações? Em caso afirmativo indique a respec tiva amplitude. 

i) 

 0 −1 1 0 

  

. ii) 

 0 1 −1 0 

  

. iii) 

 −√2/2 −√2/2 √2/2 −√2/2 

  

. 

iv) 

 −√3/2 1/2 −1/2 −√3/2 

  

. v) 

4

 −1/2√3/2 √3/2 −1/2 

  

. 

c) A composição de duas rotações, Rθ2 ◦ Rθ1, é uma rotação? Em caso afirmativo, qual a sua amplitude? 

d) Mostre que para qualquer θ ∈ R, Rθ admite inversa. Determine-a. 

e) Se Cρ ⊂ R2for a circunferência de centro na origem e raio ρ > 0, mostre que Rθ (Cρ) = Cρ, para qualquer θ ∈ R. 

f) Seja ra a recta de R2cuja equação analítica é y = ax (a  = 0). Qual a equação analítica da recta Rπ/2 (ra)? 

Exercício 11 Seja ∆ ⊂ R3, o triângulo de vértices (1, 0, 1), (−1, 1, 0) e (0, 0, 2). Relativa mente às transformações lineares T : R3 → R3 descritas a seguir, determine T (∆). 

a) Reflexão com relação ao plano xOz. 

b) Reflexão com relação ao plano yOz. 

c) Rotação em torno do eixos dos zz de amplitude π/2. 

2 Representação matricial de transformações lineares 

Se T : E1 → E2 for uma transformação linear entre E1 e E2, e estes forem espaços vectoriais de dimensão finita, então T admite uma representação matricial no sentido que passamos a descrever. 

Sejam B1 = {u1, ..., un} uma base de E1 (dim E1 = n) e B2 = {v1, ..., vm} uma base de E2 (dim E2 = m). Então com x ∈ E1 temos 

x = x1u1 + ... + xnun 

e 

T (x) = x1T (u1) + ... + xnT (un). 

Como tal, as coordenadas de [T (x)]B2de T (x) na base B2 relacionam-se com as coordenadas [x]B1de x na base B1 através de uma matriz [T]B2B1(m × n): 

[T (x)]B2= [T]B2B1[x]B1, 

em que as colunas de [T]B2B1são as coordenadas na base B2, [T (u1)]B2, ..., [T (un)]B2, de T (u1), ..., T (un). 

No caso de ser E1 = Rne E2 = Rp, ou seja, quando T : Rn → Rm é uma transformação linear entre Rne Rm, os vectores x e T (x) confundem-se com as suas coordenadas nas correspondentes bases canónicas, En e Em. Assim, em tal caso 

T (x) = [T] x 

em que as colunas da matriz [T] são as coordenadas na base Ep dos vectores T (u1), ..., T (un). 5

2.1 Composição de transformações lineares 

Com E1, E2 e E3 espaços vectoriais sobre K (R ou C) sejam T1 : E1 → E2 e T2 : E2 → E3 duas transformações lineares. Então facilmente se observa que a composição de T2 com T1, 

(T2 ◦ T1) (x) = T2 (T1 (x)) 

é uma transformação linear entre os espaços E1 e E3. 

Se E1, E2 e E3 forem espaços de dimensão finita tais que 

dim E1 = n, dim E2 = m e dim E3 = ℓ, 

de bases, respectivamente, B1, B2 e B3, T1 admite uma representação matricial através de uma matriz [T1]B2B1, m×n, e T2 uma representação matricial por uma matriz [T2]B3B2, ℓ×m. Como tal, T2 ◦ T1 terá como representação matricial a matriz [T2]B3B2[T1]B2B1(ℓ × n). Na verdade, 

[(T2 ◦ T1) (x)]B3 = [T2 (T1 (x))]B3 

= [T2]B3B2[T1 (x)]B2 

= [T2]B3B2[T1]B2B1[x]B1. 

2.2 Representação matricial e mudanças de base 

Se D1 e D2 forem outras bases, respectivamente, de E1 e E2 a transformação linear T : E1 → E2 terá uma representação matricial diferente, dada agora por uma outra matriz [T]D2D1, igualmente m × n. 

As matrizes [T]B2B1e [T]D2D1relacionam-se de acordo com o diagrama [x]B1[T]B2B1 −→ [T (x)]B2 

MB1←D1 ↑ ↓ MD2←B2 

[x]D1 −→[T]D2D1[T (x)]D2 

onde MB1←D1é a matriz de mudança de base D1 para a base B1 e MD2←B2é a matriz de mudança de base de B2 para D2. Ou seja, 

[T]D2D1 = MD2←B2[T]B2B1 MB1←D1 

2.3 Exercícios 

Exercício 12 Considere R2 munido da base B = {v1, v2} , onde v1 = (1, 2), v2 = (2, 1). Represente matricialmente na base B as seguintes transformações lineares T : R2 → R2 definidas pelas seguintes relações: 

a) T (1, 2) = (2, 1) e T (2, 1) = (1, 2). 

b) T (1, 2) = (3, 3) e T (2, 1) = (6, 6). 

c) T (v1) = v1 + v2 e T (v2) = 3v1 − 7v2. 

d) T (v1 + v2) = 5v1 + v2 e T (v1 − v2) = 3v1 − 7v2. 

6

Exercício 13 Considere uma transformação linear T : R2 → R3tal que T (1, 3) = (1, 1, 1) e T (5, 7) = (2, 2, 3) 

Determine uma base B2 = {v1, v2} de R2e uma base B3 = {w1, w2, w3} de R3 de forma que a representação matricial de T nestas bases B2, B3 seja 

  

1 2 0 1 0 0 

 

. 

Exercício 14 Considerem-se as aplicações lineares S : R3 → R2e T : R2 → R3 definidas por S (x, y, z) = (3x + y + 4z, x + z) e T (x, y) = (x − 4y, 2x − 5y, 3x − 6y). Determine a representação matricial de S ◦T e de T ◦S nas bases canónicas de R3e R2, respectivamente. 

Exercício 15 Considere R2 munido da base B = {v1, v2} , onde v1 = (0, 2), v2 = (2, 0). Represente matricialmente na base B as seguintes transformações lineares T : R2 → R2: 

a) T é definida por T(x1, x2) = (2x1 + x2, x1 + 2x2). 

b) T é representada na base canónica de R2 pela matriz 

a b c d 

  

. 

Exercício 16 B = {v1, v2} constitui uma base de R2, onde v1 = (1, 1), v2 = (1, 2). a) Qual a representação matricial da transformação linear T : R2 → R2 na base B, se na base canónica de R2ela for representada pela matriz 

2 1 1 2 

  

? 

b) Supondo que T é representada na base B pela matriz 

 3 2 

  

, 

1 2 

determine a expressão analítica para T (x1, x2). 

Exercício 17 Com v1 = (0, 2, 0), v2 = (0, 0, 2) e v3 = (2, 0, 0), B = {v1, v2, v3} forma uma base de R3. Determine as representações matriciais na base B das seguintes transformações lineares T : R3 → R3: 

a) T é dada analiticamente por T(x1, x2, x3) = (x1 + x2, x1 + x3, x3 + x2). b) Relativamente à base canónica de R3, T é representada pela matriz 

  

a b c d e f g h i 

7

 

. 

Exercício 18 Considere a base de R3, B = {v1, v2, v3} , onde v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 1, 0) e v3 = (1, 1, 1). 

a) Sabendo que T : R3 → R3é uma transformação linear que na base canónica de R3é 

representada pela matriz  

1 1 0 1 0 1 0 1 1 

 

, 

determine a sua representação matricial na base B. 

b) Supondo que na base B, T é representada matricialmente pela matriz 

 

 

 

, 

determine analiticamente T (x1, x2, x3). 

1 2 1 1 0 0 0 1 2 

Exercício 19 T : R3 → R2é a transformação linear dada por 

T(x1, x2, x3) = (2x1 + x2, x3 + 3x2). 

Por que matrizes é representada T relativamente à base B1 = {u1, u2, u3} de R3e B2 = {v1, v2} de R2 nos casos em que: 

a) u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 0), u3 = (0, 0, 1), v1 = (1, 0), v2 = (0, 1). b) u1 = (0, 2, 0), u2 = (0, 0, 2), u3 = (2, 0, 0), v1 = (1, 0), v2 = (0, 1). c) u1 = (1, 0, 0), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 1, 1), v1 = (1, 1), v2 = (1, 2). d) u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 0), u3 = (0, 0, 1), v1 = (1, 1), v2 = (1, 2). 

Exercício 20 Considerem-se as bases B2 = {w1, w2} de R2e B3 = {v1, v2, v3} de R3, onde w1 = (2, 1), w2 = (2, 2), v1 = (1, −1, 0), v2 = (−1, 1, 1) e v3 = (1, 0, −1). Sejam S : R3 → R2e T : R2 → R3 aplicações lineares tais que 

S (v1) = w1 + w2, S (v2) = w1 − w2, S (v3) = w1, 

T (w1) = v1 + v2 e T (w2) = v2 + v3. 

determine a expressão analítica para T ◦ S (x, y, z). 

Exercício 21 Seja T : P2 → P2 definida por T (p (t)) = tp′(t). Determine a matriz que representa T na base P2 = {1, t, t2}. 

Exercício 22 Seja T : P2 → P4 definida por T (p (t)) = p (t2)+p (2) t3. Determine a matriz que representa T nas bases P2 = {1, t, t2}, P4 = {1, t, t2, t3, t4}. 

8

Exercício 23 Seja T : P2 → R3 definida por T (p (t)) = (p (−1), p (0), p (1)). Determine a matriz que representa T nas bases canónicas P2, E3. 

Exercício 24 T : P2 → P3 é uma transformação linear tal que 

T (1) = 1 + t, T (t) = 1 + 2t, T  t2 = t − t3. 

a) Que polinómio é T (1 − 2t + 3t2)? 

b) Represente matricialmente T com respeito às bases canónicas de P2 e de P3. 

c) Represente matricialmente T relativamente às bases B = {1, 1 + t, 1 + t + t2} de P2 e D = {1, 1 + t, 1 + t2, 1 + t3} de P3. 

Exercício 25 Seja F : M2×2 (R) → M2×2 (R) dada por 

F (A) = A + AT. 

a) F é uma transformação linear. Justifique. 

b) Por que matriz é representada F relativamente à base canónica de M2×2 (R), 

 

  1 0 0 0 

  

, 

 0 1 0 0 

  

, 

 0 0 1 0 

  

, 

 0 0 0 1 

   

. 

Exercício 26 Seja 

A = 

 a b c d 

  

uma matriz arbitrária do espaço vectorial M2×2 (R) das matrizes reais 2 × 2. Quais das seguintes transformações de M2×2 (R) em R, são lineares? 

T1 (A) = a + d. T2 (A) = ab − cd. T3 (A) = a + b + c + d. T4 (A) = abcd. 

Nos casos afirmativos indique a respectiva representação matricial relativamente à base canó nica de M2×2 (R). 

Exercício 27 Considere as transformações D : P3 → P2 e P : P2 → P3 definidas por:   t 

Dp (t) = p′(t), P p (t) = 

0 

em que p designa um polinómio de P3. 

a) Ambas são transformações lineares. Justifique. 

p (s) ds, 

b) Determine as matrizes que representam D e P relativamente às bases canónicas {1, t, t2} de P2 e {1, t, t2, t3} de P3. 

c) D e P são transformações inversas? 

9

3 Núcleo e contradomínio de uma transformação linear 

Relativamente a uma qualquer transformação linear T : E1 → E2 entre dois espaços vectoriais E1 e E2, facilmente se verifica que o contradomínio de T ou conjunto imagem 

Im T = {y ∈ E2 : y = T (x), x ∈ E1} 

constitui um subespaço de E2. Sempre que Im T = E2 diremos que T é uma transformação linear sobrejectiva ou uma sobrejecção de E1 em E2. 

A invertibilidade de T fica então apenas dependente de ser uma transformação injec tiva, ou seja de satisfazer a propriedade 

x1  = x2 ⇒ T (x1)  = T (x2) 

(ou de modo equivalente a implicação T (x1) = T (x2) ⇒ x1 = x2). Na verdade, se T for injectiva então podemos considerar a transformação inversa 

T−1: Im T → E1, 

ou seja a transformação que satisfaz as relações 

 T−1◦ T (x) = x, ∀x ∈ E1, 

 T ◦ T−1 (y) = y, ∀y ∈ Im T. 

Nestas circunstâncias, pode facilmente verificar-se que T−1é igualmente uma transformação linear entre Im T e E1. Quando T for simultaneamente injectiva e sobrejectiva diremos que T é bijectiva ou uma bijecção entre E1 e E2. 

Para aferirmos da injectividade da transformação T, um outro espaço assume um papel relevante: o chamado de núcleo de T definido por 

NucT = {x ∈ E1 : T (x) = 0} , 

que facilmente se observa constituir um subespaço de E1. Na verdade, pode mostrar-se que T é injectiva se e só se for válida a seguinte equivalência 

T (x) = 0 ⇔ x = 0, 

facto que é equivalente a afirmar que NucT = {0} . 

Podemos pois estabelecer que as seguintes afirmações são equivalentes: 

• T : E1 → Im T é invertível. 

• T é injectiva. 

• NucT = {0} . 

10

3.1 Núcleo e contradomínio de uma transformação linear entre espaços de dimensão finita 

No caso em que os espaços E1 e E2 são de dimensão finita há a registar algumas particu laridades específicas. Na verdade, tomando uma base B1 de E1, uma base B2 de E2 e a matriz [T]B2B1que, relativamente a estas bases, representa a transformação linear T : E1 → E2, atendendo a que 

[T (x)]B2= [T]B2B1[x]B1, 

podemos concluir que Do mesmo modo, 

NucT = x ∈ E1 : [x]B1∈ Nul [T]B2B1 . Im T = y ∈ E2 : [y]B2∈ Col [T]B2B1 . 

Assim, recordando a nulidade, n (A), e a característica, c (A), de uma matriz A, temos dim (NucT) = dim  Nul [T]B2B1 = n  [T]B2B1  

dim (Im T) = dim  Col [T]B2B1 = c  [T]B2B1  

e 

dim (NucT) + dim (Im T) = dim E1. 

Se dim (E1) = dim (E2), podemos ainda afirmar que T é uma transformação invertível (ou bijectiva) se e só se a matriz [T]B2B1for invertível. Nestas condições, relativamente às bases B1 e B2, a matriz que representa a transformação inversa, T−1, é a matriz inversa da 

matriz que representa T : T−1 B1B2 

3.2 Exercícios 

 = [T]−1 B2B1. 

Exercício 28 Determine bases para o núcleo e para o contradomínio (ou espaço imagem) de cada uma das seguintes transformações lineares: 

a) T(x1, x2) = (2x1 + x2, 2x1 + x2). 

b) T(x1, x2) = (x1 + x2, x1 − x2). 

c) T(x1, x2, x3) = (x1 + x2 + x3, 2x1 + 2x2 + 2x3, x2 − x3). 

d) T(x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 − x3, 2x1 + 4x2 − 2x3, −x1 − 2x2 + x3). 

e) T(x1, x2, x3) = (x1 − x3, x1 + 2x3, x2 + 3x3). 

f) T(x1, x2, x3) = (x1 − x3, x2 + x3). 

g) T(x1, x2) = (2x1 + x2, 4x1 + 2x2, 0). 

Exercício 29 A transformação linear T : R2 → R2, na base constituída pelos vectores v1 = (1, 1), v2 = (1, −1) é representada pela matriz 

3 3 2 2 

  

. 

Determine bases para o núcleo e para o espaço imagem de T e indique a dimensão desses subespaços. 

11

Exercício 30 Na base formada pelos vectores 

v1 = (−1, 1, 1), v2 = (1, −1, 1), v3 = (1, 1, −1), 

a transformação linear T : R3 → R3é representada pela matriz 

  

−2 0 1 1 1 0 −1 1 1 

 

. 

Determine bases dos subespaços NucT e Im T. 

Exercício 31 A transformação linear T : P2 → P1, relativamente às bases canónicas destes espaços, é representada pela matriz 

  

. 

a) Que polinómio é T (1 + 2t + t2)? 

 2 1 −3 −6 −3 9 

b) Determine bases do núcleo e do contradomínio de T. 

Exercício 32 T : P1 → P2 é uma transformação linear que nas bases canónicas de P1 e P2 

é representada pela matriz  

1 1 1 −1 1 0 

 

. 

a) Caso exista, qual o polinómio p (t) de P1 tal que T (p (t)) = 1 − t? 

b) Determine bases do núcleo e do contradomínio de T. 

Exercício 33 Seja T : Rn → Rm uma transformação linear e A a matriz que representa T nas bases canónicas de Rne Rm. Justificando as suas respostas, indique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. 

a) dim (NucT) = n (A)2. 

b) T é injectiva se e só se n (A) = 0. 

c) T é injectiva se e só se a característica de A coincide com o número de colunas de A. d) A dimensão da imagem de T coincide com a característica de A. 

e) T é sobrejectiva se e só se a característica de A coincide com o número de linhas de A. 

Exercício 34 Seja T : R3 → R2 a transformação linear definida por T (x1, x2, x3) = (x1 + x2, x1 + x2 − x3). 

a) Calcule a matriz que representa T nas bases canónicas de R3e R2. 2Recorde que n(A) designa a nulidade da matriz A. 

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b) Determine uma base para o núcleo de T. A transformação T é injectiva? c) Determine uma base para o contradomínio de T. T é sobrejectiva? d) Resolva a equação T(x1, x2, x3) = (1, 1). 

e) Existe algum vector (a, b) ∈ R2 para o qual a equação T(x1, x2, x3) = (a, b) é impossível? f) Existe algum vector (a, b) ∈ R2 para o qual a equação T(x1, x2, x3) = (a, b) é possível e determinada? 

Exercício 35 Considere a transformação linear que na base canónica de R3é representada 

pela matriz  

1 2 2 2 1 4 0 0 2 

 

. 

a) Determine uma base para o núcleo de T. T é injectiva? 

b) Indique uma base para a imagem de T. T é sobrejectiva? 

c) Resolva a equação T(x1, x2, x3) = (3, 3, 0). 

d) Existe algum vector (a, b, c) ∈ R3 para o qual a equação T(x1, x2, x3) = (a, b, c) é impossí vel? 

e) Existe algum vector (a, b, c) ∈ R3 para o qual a equação T(x1, x2, x3) = (a, b, c) é indeter minada? 

Exercício 36 Na base de R2formada por v1 = (1, 1), v2 = (1, 0), a transformação linear 

T : R2 → R2é representada pela matriz 2 4 

  

. 

1 2 

a) Encontre uma base de NucT. T é injectiva? b) Indique uma base de ImT. T é sobrejectiva? c) Resolva a equação T(x1, x2) = (3, 2). 

d) Existe algum vector (a, b) ∈ R2 para o qual a equação T(x1, x2) = (a, b) é impossível? e) Existe algum vector (a, b) ∈ R2 para o qual a equação T(x1, x2) = (a, b) é possível e determinada? 

Exercício 37 Seja T : R3 → R3 a transformação linear que na base constituída pelos vectores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 0, 0) é representada por 

  

1 2 2 2 4 4 0 0 2 

 

. 

a) Determine uma base para o núcleo de T. T é injectiva? 

b) Indique uma base para a imagem de T. T é sobrejectiva? 

c) Mostre que equação T(x1, x2, x3) = (2, 4, 0) não tem soluções. 

d) Existe algum vector (a, b, c) ∈ R3 para o qual a equação T(x1, x2, x3) = (a, b, c) é indeter minada. 

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Exercício 38 T é a transformação linear dada por T (x1, x2) = (x1 + x2, x1 + 2x2). 

a) Qual a matriz que representa T na base canónica? b) Mostre que T é bijectiva e calcule T−1(y1, y2). c) Resolva a equação linear T(x1, x2) = (1, 1). 

Exercício 39 A matriz  

1 0 0 0 1 0 0 0 −1 

  

representa a transformação linear T na base de R3constituída pelos vectores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 0, 0). 

a) Mostre que T é bijectiva e calcule T−1(y1, y2, y3). 

b) Resolva a equação linear T(x1, x2, x3) = (1, 2, 1). 

Exercício 40 Relativamente à base canónica de P2, a transformação linear T : P2 → P2, 

tem a representação matricial  

1 1 1 1 2 −4 0 0 1 

 

. 

Mostre que T é bijectiva e calcule T−1(1 + t + 2t2). 

Exercício 41 Seja I : Pn → R a transformação dada por   1 

I (p) = 

0 

p (t) dt (p (t) ∈ Pn). 

a) I é uma transformação linear. Justifique. 

b) Qual a matriz que na base canónica {1, t, ..., tn} de Pn representa I? c) Determine o núcleo de I? Qual a sua dimensão? 

d) É I uma bijecção entre Pn e R? 

Exercício 42 Designe-se por S o subespaço das matrizes simétricas 2 × 2, i.e. S = A ∈ M2×2 (R) : A = AT . 

Considere-se T : S → S a transformação linear definida por 

T(A) = AB + BA, onde B= 

 0 1 1 0

  a) Determine uma base para S e indique a matriz que, nessa base, representa T. b) Calcule uma base do NucT e justifique que T não é injectiva nem sobrejectiva. c) Resolva em S, a equação T(A) = B.