Lista de 12 Exercícios de Transformações Lineares (Álgebra Linear II) em PDF

Curso: L.E. Matemática TRABALHO 1

Disciplina: Álgebra Linear I 1º Ano/2º Semestre/2018

PARTE I. Transformações Lineares

TRABALHO 1 - Transformações Lineares (Álgebra Linear II) PDF



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1. Seja 2 3 Τ : ℜ → ℜuma aplicação definida por (x,y) → (2x,0,x + y). Verifique se T é uma  transformação linear. 

2. Verifique se 2 2 Τ : ℜ → ℜdefinida por (x,y) → (x + 5,y)é uma transformação linear. 3. Encontre a transformação do plano no plano Rθcujo ângulo de rotação 23π 

θ =no sentido anti-horário. 

4. Seja 3 3 Τ : ℜ → ℜdada por Τ(x,y,z) = (x,2y,0). Determine: 

a. A dimensão da imagem da transformação, dim Im(T); 

b. dim ker T. 

5. seja Τuma transformação linear em 3 ℜdada por Τ(x,y,z) = (z,x − y,−z). Indique o núcleo de Τ, a  sua dimensão e uma base. 

6. Seja 3 3 Τ : ℜ → ℜdada por Τ(x,y,z) = (x − 2y,z,x + y). 

a. Mostre que T é um isomorfismo (injectora e sobrejectora ao mesmo tempo); b. Calcule a inversa −1 Τ . 

7. Mostre que as transformações lineares de 3 ℜem 3 ℜ , (x,y,z) (0,y,z) Τ1=e  (x,y,z) (0,z y,z 2y) Τ2= + +têm os mesmos núcleos e contradomínios. 

8. Dada a transformação linear : , (x,y) (2x y,0) 

2 2 Τ ℜ → ℜ Τ = − , determine a matriz da transformação  

considerando a base canónica. 

9. Determine a imagem do vector (− 2,4)relativamente à transformação linear  : , (x,y) (2x x,0) 

2 2 Τ ℜ → ℜ Τ = − , utilizando primeiro a definição e em seguida utilizando a matriz da  transformação. 

10. Seja Τuma transformação linear em 3 ℜ, onde Τ(1,0,0) = (10,3,−1),Τ(0,1,0) = (5,3,−4)e  Τ(0,0,1) = (4,6,−10). Determine Τ(v)onde v = (9,−4,9). 

A Τ : Τ → Τuma transformação linear definida a partir da matriz ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛− 

1 3 5 

11. Seja 3 2 

α = {(1,0),(0,1)}. Encontre essa transformação linear, (x,y,z) ΤA. 

− 

Ae base  =2 4 1 

12. Sejam3 3 Τ : Τ → Τtal que Τ(x,y,z) = (2x + y − z,3x − 2y + 4z)e as bases β = {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)}e  β'= {(1,3),(1,4)}. Calcule T nos elementos da base β, isto é, [ ]β 

Τ β'.