Álgebra Linear - Exercícios Resolvidos

Álgebra linear: Transformações Lineares

Álgebra linear: Transformações Lineares - Exercícios Resolvidos - em PDF

Apostila de Transformações Lineares (Álgebra Linear) - Exercícios Resolvidos em PDF

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Conteúdo

Exercício 1 Mostre que as transformações lineares de R3 em R3, T1 (x, y, z) = (0, y, z) e T2 (x, y, z) = (0, z + y, z + 2y) ... têm os mesmos núcleos e contradomínios. 

Solução 

• Tranformação T1 

Consideremos a base canónica de R3:  {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} 

Determinemos a matriz da transformação: 

 

T1 (e1) = T1 (1, 0, 0) = (0, 0, 0) = 0 · e1 + 0 · e2 + 0 · e3 T1 (e2) = T1 (0, 1, 0) = (0, 1, 0) = 0 · e1 + 1 · e2 + 0 · e3 

 

T1 (e3) = T1 (0, 0, 1) = (0, 0, 1) = 0 · e1 + 0 · e2 + 1 · e3 

A matriz da transformação, A1, será uma matriz do tipo 3×3 cujas colunas são as coordenadas de T1 (ei) na base {ei}: O núcleo da transformação é dado pelo conjunto: 

Nuc (T1) = ©v ∈ R3 : T1 (v)=0ª 

Determinar o núcleo consiste em resolver o sistema de equações A1v = 0 nas variáveis v. Dado que rA1 = 2 < 3 o sistema é possível e indeterminado com grau de indeterminação 1, e a solução é da forma: O contradomínio, ou imagem, de T1, denotado por Im (T1) ou T1¡R3¢ é dado pelo conjunto Im (T1) = ©w ∈ R3 : T1 (v) = w, ∀v∈R3ª. Temos as sim que analisar a forma dos vectores A1v. Note-se que A1v consiste na combinação linear das colunas de A1: A1v = v1 

 são linearmente independentes, 

pelo que, não esquecendo que estamos a tentar descobrir a forma de w, se terá com vector genérico de Im (T1)Consideremos a base canónica de R3: 

{e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} 

Determinemos a matriz da transformação: 

 

T2 (e1) = T2 (1, 0, 0) = (0, 0, 0) = 0 · e1 + 0 · e2 + 0 · e3 T2 (e2) = T2 (0, 1, 0) = (0, 1, 2) = 0 · e1 + 1 · e2 + 2 · e3 

 

T2 (e3) = T2 (0, 0, 1) = (0, 1, 1) = 0 · e1 + 1 · e2 + 1 · e3 

A matriz da transformação, A1, será uma matriz do tipo 3×3 cujas colunas são as coordenadas de T2 (ei) na base {ei}:O núcleo da transformação é dado pelo conjunto: Nuc (T2) = ©v ∈ R3 : T2 (v)=0ª • Determinar o núcleo consiste em resolver o sistema de equações A2v = 0 nas variáveis v. Construamos a matriz ampliada do sistema e resolvamos por condensação: 

Dado que rA2 = 2 < 3 o sistema é possível e indeterminado com grau de indeterminação 1, e a solução é da forma: , v1 ∈ R O contradomínio, ou imagem, de T2, denotado por Im (T2) ou T2¡R3¢ é dado pelo conjunto Im (T2) = ©w ∈ R3 : T2 (v) = w, ∀v∈R3ª. Temos as sim que analisar a forma dos vectores A2v. Note-se que A2v consiste na combinação linear das colunas de A2: A1v = v1  É evidente que apenas  são linearmente independentes 

(não são múltiplos um do outro), pelo que, não esquecendo que estamos a tentar descobrir a forma de w, se terá com vector genérico de Im (T2): 

v2, v3 ∈ R 

Tem-se claramente, Nuc (T1) = Nuc (T2). Embora de modo menos claro, também se tem Im (T1) = Im (T2). Basta verificar que os vectores da base