Apostilas de Álgebra linear

Transformações lineares: Matriz de uma Transformação Linear

Matriz de uma Transformação Linear Exemplos

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Conteúdo:

Exemplos - Matriz de uma Transformação Linear 

Exemplo 1: Seja F : R3 −→ R2, de nida por F(x, y, z) = (x + y, 2z). Determine a matriz da transformação linear F, isto é, (F)B,C com B e C as bases canônicas de R3e R2, respecti vamente. 

Escrevendo as imagens dos elementos da base canônica B = {(1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1)} do R3, pela transformação F, como combinações lineares dos elementos da base C = {(1, 0),(0, 1)} do R2, temos: 

F(1, 0, 0) = (1, 0) = 1(1, 0) + 0(0, 1) 

F(0, 1, 0) = (1, 0) = 1(1, 0) + 0(0, 1) 

F(0, 0, 1) = (0, 2) = 0(1, 0) + 2(0, 1) 

Assim, pela de nição da matriz de uma transformação linear, obtemos: 

(F)B,C = 

 1 1 0 0 0 2 

  

Exemplo 2: Seja F : R3 −→ R2, de nida por F(x, y, z) = (x + y, 2z). Determine (F)B,C com B = {(1, 1, 0),(1, 0, 1),(0, 0, −1)} base de R3e C = {(1, 0),(1, 1)} base de R2. 

Escrevendo as imagens dos elementos da base B, pela transformação linear F, como combi nações lineares dos elementos da base C, temos: 

F(1, 1, 0) = (2, 0) = α11(1, 0) + α21(1, 1) ⇔ F(1, 0, 1) = (1, 2) = α12(1, 0) + α22(1, 1) ⇔ 

 α11 + α21 = 2 α21 = 0 ⇒ 

 α12 + α22 = 1 α22 = 2 ⇒ 

 α11 = 2 α21 = 0 

 α12 = −1 α22 = 2 

F(0, 0, −1) = (0, −2) = α13(1, 0) + α23(1, 1) ⇔ 

 α13 + α23 = 0 α23 = −2⇒ 

 α13 = 2 α23 = −2 

Assim, obtemos: 

(F)B,C = 

 2 −1 2 0 2 −2 

  

Exemplo 3: Determinar o operador linear F do R2cuja matriz em relação a base B = 

{(1, 2),(0, 5)} é: 

(F)B = 

 3 1 2 −1 

  

Pela de nição da matriz de uma transformação linear, sabemos que: 

F(1, 2) = 3(1, 2) + 2(0, 5) = (3, 16) 

e 

F(0, 5) = 1(1, 2) − 1(0, 5) = (1, −3) 

Considere um elemento (x, y) ∈ R2, escrevendo esse elemento como combinação linear da base 

B, temos: 

(x, y) = α1(1, 2) + α2(0, 5) ⇔ 

 α1 = x 

2α1 + 5α2 = y⇒ 1

 α1 = x 

α2 =y−2x 5 

Desse modo, temos que:   

F(x, y) = F 

x(1, 2) + y − 2x 5(0, 5)

  

= xF(1, 2) + y − 2x 

5F(0, 5) = 

  

= x(3, 16) + y − 2x 

5(1, −3) = 

3x +y − 2x 

5, 16x − 3 

 y − 2x 5 

   

= 

 13x + y 

5,86x − 3y 5 

  

⇒ 

⇒ F(x, y) = 15(13x + y, 86x − 3y) 

Exemplo 4: Seja F : P2(R) −→ P3(R) uma transformação linear, dada por: F(p(x)) = (x + 1)p(x), ∀p(x) ∈ P2(R). Determine a matriz de F com relação as bases 

B = 1,(x − 1),(x − 1)2 de P2(R) e C = 1, x, x2, x3 de P3(R). 

Vamos escrever as imagens dos elementos da base B, pela transformação linear F, como combi nações lineares dos elementos da base C: 

F(1) = (x + 1)1 = (x + 1) = 1 + 1x + 0x2 + 0x3 

F(x − 1) = (x + 1)(x − 1) = (x2 − 1) = −1 + 0x + 1x2 + 0x3 

F((x−1)2) = F(x2−2x+1) = (x+1)(x2−2x+1) = (x3−x2−x+1) = 1−1x−1x2+1x3 

Assim, obtemos:   (F)B,C = 1 −1 1 1 0 −1 0 1 −1 0 0 1 

 Exemplo 5: Considere o operador linear F : M2(R) −→ M2(R), de nido por: F    a b c d =   2a + b 2b 2c 3d 

Considerando M2(R) com a base canônica B, determine a matriz da transformação F com re lação a base B. 

Vamos escrever as imagens dos elementos da base B, pela transformação linear F, como combi nações lineares dos elementos de B, isto é: F F F F 

Desse modo, pela de nição da matriz de uma transformação linear, obtemos: 

(F)B =  

2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 2 

Exemplo 6: Considere os operadores lineares do R2: F(x, y) = (x + 2y, y) e G(x, y) = (−x, −y). Determinar as matrizes dos operadores lineares: F + G, 2F, F ◦ G e F2, com relação a base canônica B do R2. 

Vamos determinar as matrizes das transformações F e G. Escrevendo as imagens, pela transfor mação F, dos elementos da base canônica B do R2, como combinação linear dos elementos de B, temos: 

F(1, 0) = (1, 0) = 1(1, 0) + 0(0, 1); 

F(0, 1) = (2, 1) = 2(1, 0) + 1(0, 1) 

Assim, obtemos: (F)B = 

 1 2 0 1 

  

. 

Agora, escrevendo as imagens, pela transformação G, dos elementos da base B, como combinação linear dos elementos de B, temos: