Apostilas de Álgebra linear

Transformações lineares: Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear

Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear Exemplos

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Conteúdo:

Exemplos - Núcleo e Imagem 

Exemplo 1: Considere a transformação linear: 

T : R2 −→ R 

(x, y) 7−→ T(x, y) = 3x + 2y 

Vamos determinar o núcleo da transformação linear T. 

Um elemento de R2está no núcleo se a transformação T o transforma no elemento neutro 

de R, ou seja: 

T(x, y) = 3x + 2y = 0 ⇒ y = −32x 

Assim, a reta y = −32x, subespaço vetorial, de R2, é o núcleo da transformação linear T. Figura 1: A reta y = −32x é o núcleo da transformação linear T. 

Exemplo 2: Considere a transformação linear: 

T : R3 −→ R2 

(x, y, z) 7−→ T(x, y, z) = (x − y − z, 2z − x) 

Vamos determinar a imagem da transformação linear T. 

Todo elemento do contra-domínio R2 pertence a imagem de T se for da forma: (x − y − z, 2z − x) = x(1, −1) + y(−1, 0) + z(−1, 2) 

Logo, temos que Im(T) = [(1, −1),(−1, 0),(−1, 2)]. Escalonando esses geradores da imagem, como linhas de uma matriz, para obtermos uma base, temos: 

E, portanto, {(1, −1),(0, −1)} é uma base para Im(T) e dim(Im(T)) = 2 = dim(R2). Como Im(T) é um subespaço do R2e tem a mesma dimensão que R2, concluímos que Im(T) = R2. 

Exemplo 3: Considere a transformação linear T : R2 −→ R3tal que: 

T(1, 1) = (3, 2, 1), T(0, −2) = (0, 1, 0) 

Vamos determinar o núcleo e a imagem de T. 

1

Primeiro, determinamos explicitamente a transformação T. Podemos verificar que {(1, 1),(0, −2)} é uma base para R2. Todo elemento do R2 pode ser escrito de modo único como: 

  

(0, −2) 

Assim, temos: 

(x, y) = x(1, 1) + 

 −y + x 2 

T(x, y) = T 

  

x(1, 1) + 

 −y + x 2 

  

(0, −2)

  

= xT(1, 1) + 

 −y + x 2 

  

T(0, −2) ⇒ 

⇒ T(x, y) = x(3, 2, 1) + 

 −y + x 2 

  

(0, 1, 0) ⇒ T(x, y) = 


3x,−y + 5x 2, x

Agora, um elemento do R2 pertence ao núcleo de T se ele é transformado no elemento neutro do R3 pela transformação T, ou seja: 


Figura 2: A origem (0, 0) é o núcleo da transformação linear T. 

Vamos determinar o conjunto imagem de T. Um elemento do contra-domínio R3 pertencerá a imagem de T se for da forma: 

  

3x,−y + 5x 2, x

  

= x 

  

3,52, 1 + y 0, −12, 0  

Assim, Im(T) =  3,52, 1 ,0, −12, 0  . Podemos ver facilmente que esse conjunto de geradores é L.I. e portanto,  3,52, 1 ,0, −12, 0   é uma base para Im(T). 

Exemplo 4: Considere a transformação linear: 

T : R3 −→ R4 

(x, y, z) 7−→ T(x, y, z) = (x − y − z, x + y + z, 2x − y + z, −y) 

Vamos determinar o núcleo e a imagem desta transformação linear.

No núcleo da transformação estão todos os elementos do R3 que são transformados no elemento neutro do R4 pela transformação T, ou seja: 

T(x, y, z) = (x − y − z, x + y + z, 2x − y + z, −y) = (0, 0, 0, 0) ⇔   

x = 0 y = 0 z = 0 Assim, N (T) = {(0, 0, 0)}. 

Um elemento do contra-domínio R4 pertence a imagem de T se for da forma: (x − y − z, x + y + z, 2x − y + z, −y) = x(1, 1, 2, 0) + y(−1, 1, −1, −1) + z(−1, 1, 1, 0) 

Assim, Im(T) = [(1, 1, 2, 0),(−1, 1, −1, −1),(−1, 1, 1, 0)]. Escalonando esses geradores para ob termos uma base para a imagem, temos: 

Portanto, {(1, 1, 2, 0),(0, 2, 1, −1),(0, 0, 2, 1)} é uma base para Im(T). 3