Exercícios de Álgebra Linear

Lista de Álgebra Linear: 135 Exercícios Resolvidos de Álgebra Linear em PDF
Álgebra Linear: Exercícios Resolvidos em PDF

👉Sistemas de Equações Lineares, Matrizes e Determinantes: Exercícios Resolvidos em PDF
👉 Espaços Lineares: Exercícios Resolvidos em PDF
👉 Espaços Lineares: Exercícios Resolvidos em PDF
👉 Bases e dimensão: Exercícios Resolvidos em PDF
👉 Transformações Lineares: Exercícios Resolvidos em PDF
👉 Valores e vetores próprios: Exercícios Resolvidos em PDF
👉 Projeções, comprimento e ortogonalidade: Exercícios Resolvidos em PDF

Baixar Lista de 135 Exercícios Resolvidos de Álgebra Linear em PDF

Ler a ficha aqui 👇

ou

Baixar em PDF aqui 👇

Clique Aqui☝️ Para Baixar 


Conteúdo:

Exercício 41 Tendo em conta os exercícios 23 e 32, mostre que as colunas de uma matriz A com m linhas constituem uma base de Rm se e só se A é uma matriz invertível. 

Exercício 42 Mostre que em Rm quaisquer m vectores linearmente independentes constituem uma base de Rm. Mostre que em Rm quaisquer m geradores constituem uma base de Rm. 

Exercício 43 Mostre que qualquer base de Rm tem m vectores. 

Exercício 44 Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de R2: 

a) {(1, 0),(0, 1)}; 

b) {(1, 1),(0, 3)}; 

c) {(1, 0),(0, 3),(2, 5)}; 

d) {(1, 2)}; 

e) {(1, 1),(0, 0)}. 

Exercício 45 Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de R3: 

a) {(1, 1, 1),(1, 0, 1),(1, 1, 0)}; 

b) {(1, 1, 1),(1, 0, 1),(1, 2, 1)}; 

c) {(3, 0, 0),(1, 1, 0),(2, 2, 2),(1, 3, 5)} 

d) {(1, 1, 1),(2, 2, 0)}. 

Exercício 46 Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de R4: 

a) {(1, 0, 1, 0),(1, 1, 0, 0),(0, 0, 1, 0),(2, 1, −1, 0)}; 

b) {(1, 3, 0, 0),(1, 1, 3, 1),(2, 2, 3, 2),(2, 3, 3, 2),(2, 4, 1, 2)}; 

c) {(2, 0, 0, 2),(1, 1, 0, 0),(0, 0, 2, 3),(1, 2, 1, 2)}; 

d) {(2, 0, 0, 2),(1, 1, 0, 0),(1, 2, 1, 2)}. 

Exercício 47 Seja B = {−→v 1,−→v 2} a base de R2constituída pelos vectores 

−→v 1 = (1, 0) e−→v 2 = (1, 1). 

10

a) Qual é o vector de R2 que nesta base tem coordenadas (2, 2)? 

b) Calcule as coordenadas do vector (3, 5) nesta base. 

c) Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule 

as coordenadas de um vector (a, b) ∈ R2 nesta base. 

Exercício 48 Seja B = {−→v 1,−→v 2,−→v 3} a base de R3constituída pelos vectores −→v 1 = (2, 0, 0),−→v 2 = (1, 1, 0) e−→v 3 = (1, 1, 1). 

a) Qual é o vector de R3 que nesta base tem coordenadas (0, 3, 5)? 

b) Calcule as coordenadas do vector (2, 0, 1) nesta base. 

c) Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule 

as coordenadas de um vector (a, b, c) ∈ R3 nesta base. 

Exercício 49 Seja B = {−→v 1,−→v 2,−→v 3} o subconjunto de P2 constituído pelos polinómios −→v 1 = 1 + t,−→v 2 = 1 + 2t e−→v 3 = t2. 

a) Mostre que B é uma base de P2. 

b) Qual é o polinómio que nesta base tem coordenadas (1, 3, −2)? 

c) Calcule as coordenadas do vector 2 + 2t − t2 nesta base. 

d) Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule 

as coordenadas de um polinómio a + bt + ct2 nesta base. 

Exercício 50 Represente graficamente cada um dos seguintes subconjuntos do plano, identificando os que são subespaços lineares de R2: 

a) S = {(x, y) ∈ R2: x = 0} ; 

b) S = {(x, y) ∈ R2: x + y = 0} ; 

c) S = {(x, y) ∈ R2: x + y = 0 e x − y = 0} ; 

d) S = {(x, y) ∈ R2: x + y = 1} ; 

e) S = {(x, y) ∈ R2: x2 + y2 = 1}. 

Exercício 51 Represente graficamente cada um dos seguintes subconjuntos do espaço, identificando os que são subespaços lineares de R3: 

a) S = {(x, y, z) ∈ R3: x + y + z = 0} ; 

b) S = {(x, y, z) ∈ R3: x + y + z = 1} 

c) S = {(x, y, z) ∈ R3: x + y = 0 e x − y + 2z = 0 } ; 

d) S = {(x, y, z) ∈ R3: x + y = 1 e x − y + 2z = 0} ; 

e) S = {(x, y, z) ∈ R3: x2 + y2 + z2 = 1} ; 

f) S = {(x, y, z) ∈ R3: xyz = 0}. 

Exercício 52 Para cada uma das seguintes matrizes, calcule bases para o espaço das colunas e para o espaço nulo. Calcule ainda a característica e a nulidade:

Exercício 53 Calcule uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços lineares: 

a) S = {(x, y) ∈ R2: x + y = 0} ; 

b) S = {(x, y, z) ∈ R3: x + y + 2z = 0 } ; 

c) S = {(x, y, z) ∈ R3: x + y + z = 0 e x + y + 2z = 0 } ; 

d) S = {(x, y, z, w) ∈ R4: x + y + z + w = 0 e x + y + 2z = 0 } ; 

e) S = L{(1, 1),(2, 1),(1, 2)} ; 

f) S = L{(1, −1, 1),(1, 1, 3),(0, 1, 1)} ; 

g) S = L{(1, 4, −2, 3),(3, 6, 0, 3),(3, 4, 2, 1)}. 

Exercício 54 Mostre que se U e V são subespaços de um espaço linear E, então também U ∩ V é um subespaço de E. Mostre ainda que U ∪ V é um subespaço de E se e só U ⊆ V ou V ⊆ U. 

Exercício 55 Mostre que se U e V são subespaços de um espaço linear E, então subconjunto = {−→u +−→v :−→u ∈ U e−→v ∈ V } 

U + Vdef 

é o menor subespaço de E que contém U ∪ V . 

Exercício 56 Calcule uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços de R3: 

a) S = {(x, y, z) ∈ R3: x + y + z = 0 } ∩ {(x, y, z) ∈ R3: x + y − 3z = 0 } ; b) S = {(x, y, z) ∈ R3: x + y + z = 0 } ∩ L{(1, 1, 1),(0, 1, 1)} ; 

c) S = L{(1, 0, 0),(0, 0, 1)} ∩ L{(1, 1, 1),(0, 1, 1)} ; 

d) S = L{(1, 0, 0),(0, 0, 1)} + L{(1, 1, 1),(0, 1, 1)} ; 

e) S = {(x, y, z) ∈ R3: x + y + z = 0 } + L{(1, 1, 1),(0, 1, 1)} ; 

f) S = {(x, y, z) ∈ R3: x + y + z = 0 } + {(x, y, z) ∈ R3: x + y − 3z = 0 }. Exercício 57 Considere o espaço linear P3 (polinómios com grau menor ou igual a 3) 12

a) Mostre que o conjunto {p(t) ∈ P3 : p(0) = 0} é um subespaço linear 

de P3. Calcule uma base para este subespaço. 

b) Mostre que o conjunto {p(t) ∈ P3 : p(1) = 0} é um subespaço linear 

de P3. Calcule uma base para este subespaço. 

c) Mostre que o conjunto {p(t) ∈ P3 : p(1) = p (0)} é um subespaço linear 

de P3. Calcule uma base para este subespaço. 

Exercício 58 No espaço linear V das funções reais de de variável real duas vezes diferenciáveis, considere o subconjunto 

S = {f ∈ V : f′′ − 2f′ + f = 0} . 

a) Mostre que S é um subespaço linear de V 

b) Mostre que o conjunto {et, tet} é uma base de S. Sugestão: mostre que se f ∈ S, então f(t)e−té um polinómio com grau ≤ 1. 

c) Mostre que, dados a e b ∈ R, existe uma e uma só função f ∈ S tal que f(0) = a e f′(0) = b. Sugestão: tenha em conta que o conjunto {et, tet} é uma base de S.