Apostilas de Álgebra linear

Transformações lineares: Isomorfismo e Automorfismo

Isomorfismo e Automorfismo Exemplos

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Conteúdo:

Exemplo 1: A transformação linear T : R2 −→ R2 dada por: T(x, y) = (x − 2y, y) é um isomorfismo (automorfismo do R2). 

Para mostrar que T é injetora, basta determinar o núcleo de T. Um elemento do R2 pertence 

ao núcleo se: 

T(x, y) = (x − 2y, y) = (0, 0) ⇔ 

 x − 2y = 0 y = 0 ⇒ 

 x = 0 y = 0 

Assim, N (T) = {(0, 0)} e portanto, T é injetora. Pelo teorema do núcleo e da imagem, temos: dim(R2) = dim(N (T)) + dim(Im(T)) ⇒ dim(R2) = dim(Im(T)). Logo, como a dimensão da imagem de T é igual a dimensão do espaço de chegada, então T é sobrejetora. 

Sendo injetora e sobrejetora, temos que T é bijetora e portanto é um isomorfismo. Exemplo 2: A transformação linear T : R3 −→ R3 dada por: 

T(x, y, z) = (x − 3y − 2z, y − 4z, z) 

é um isomorfismo (automorfismo do R3). 

Vamos mostrar que T é sobrejetora e injetora, assim mostrando que é um automorfismo do R3. 

Vamos determinar o núcleo de T. Um elemento do R3 pertence ao núcleo se: 

 

T(x, y, z) = (x − 3y − 2z, y − 4z, z) = (0, 0, 0) ⇔  

Assim, N (T) = {(0, 0, 0)} e portanto, T é injetora. 

x − 3y − 2z = 0 y − 4z = 0 

z = 0 

⇒ 

  

x = 0 y = 0 z = 0 

Pelo teorema do núcleo e da imagem, temos que dim(R3) = dim(N (T)) + dim(Im(T)) ⇒ dim(Im(T)) = dim(R3) e portanto, T é sobrejetora. 

Como T é injetora e sobrejetora, ela é bijetora e logo, é um isomorfismo, e nesse caso, como os espaços vetoriais de saída e chegada são iguais, dizemos que T é um automorfismo. 

Se usarmos o teorema que diz que dois espaços vetoriais são isomorfos se, e somente se, eles tem a mesma dimensão, então o resultado seria imediato. 

Exemplo 3: Determinar o isomorfismo inverso de T : R3 −→ R3 dado por: T(x, y, z) = (x − 3y − 2z, y − 4z, z). 

Vamos encontrar uma expressão para T−1, o isomorfismo inverso de T. Lembrando que se T−1é isomorfismo inverso de T, então T(u) = v ⇒ u = T−1(v). Assim, supondo que T−1(x, y, z) = (a, b, c) temos que: 

 

(x, y, z) = T(a, b, c) = (a − 3b − 2c, b − 4c, c) ⇔  

a − 3b − 2c = x b − 4c = y 

c = z 

⇒ 

  

a = x + 3y + 14z b = y + 4z 

c = z 

Logo, temos: T−1(x, y, z) = (x + 3y + 14z, y + 4z, z), e esta é a expressão do isomorfismo inverso de T. 

Exemplo 4: A transformação linear T : R3 −→ R4 dada por T(x, y, z) = (x, x − y, y − z, z) NÃO é um isomorfismo. 

Um elemento pertence ao núcleo de T se: 

 T(x, y, z) = (x, x − y, y − z, z) = (0, 0, 0, 0) ⇔  

x = 0 

x − y = 0 y − z = 0 z = 0 ⇒   x = 0 y = 0 z = 0 

Assim, N (T) = {(0, 0, 0)} e portando T é injetora. Porém, pelo teorema do núcleo e da ima gem teremos: dim(R3) = dim(N (T)) + dim(Im(T)) ⇒ dim(Im(T)) = 3. O que implica que Im(T) 6= R4e portanto, T NÃO é sobrejetora, logo T não é bijetora e não é um isomorfismo. 

Exemplo 5: A transformação linear T : R3 −→ R dada por T(x, y, z) = x + y + z NÃO é um isomorfismo. 

De fato, T não é injetora, pois um elemento pertence ao núcleo de T se: T(x, y, z) = x + y + z = 0 ⇒ x = −y − z 

Assim, N (T) = {(x, y, z) | x = −y − z}, logo T NÃO é injetora, pois dim(N (T)) 6= 0. Dessa forma, T não é bijetora e portando não é um isomorfismo. 

Exemplo 6: A transformação linear T : R3 −→ P2(R) definida por: 

T(a, b, c) = (a − b) + (c − a)x + (b + c)x2 

é um isomorfismo de R3em P2(R). 

Vamos mostrar que T é injetora. Um elemento (a, b, c) ∈ R3 pertence ao núcleo de T se sua imagem pela transformação T for o elemento neutro de P2(R), ou seja, se: 

T(a, b, c) = (a − b) + (c − a)x + (b + c)x2 = 0 + 0x + 0x2 ⇔ a = 0 b = 0 c = 0 

Assim, N (T) = {(0, 0, 0)} e portanto, T é injetora. 

Pelo teorema do núcleo e da imagem, temos dim(R3) = dim(N (T))+dim(Im(T)) ⇒ dim(Im(T)) = 3 logo dim(Im(T)) = dim(P2(R)) e portanto, T é sobrejetora. 

Como T é injetora e sobrejetora ela é bijetora, logo é um isomorfismo de R3em P2(R). 

Vamos determinar o isomorfismo inverso T−1: P2(R) −→ R3. 

Suponha que T−1(α1 + α2x + α3x2) = (a, b, c). Logo, temos: 

(α1 + α2x + α3x2) = T(a, b, c) = (a − b) + (c − a)x + (b + c)x2 ⇔